Отношение расстояния между фокусами к большой оси

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы F1, F2, расстояние между ними – 2с, постоянную из определения – 2а (по условию 2а > 2с, то есть а > с). Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокусы и точка О находилась на середине отрезка F1F2. В такой системе координат F1(-с; о), F2(с; о) (рис. 28).

 

Рис. 28

Выведем уравнение эллипса в выбранной системе координат. Для этого рассмотрим произвольную точку эллипса М(х, у).

По определению  

Но  следовательно,  Преобразуем это уравнение, дважды возводя в квадрат обе части:

 

 


 

Обозначим  Разделив обе части на а2в2, получим каноническое уравнение эллипса:

 

(2.22)

 

Уравнение содержит только четные степени х, у, следовательно, кривая симметрична относительно осей координат. В первой координатной четверти уравнение имеет вид  при возрастании х от 0 до а у убывает отношение расстояния между фокусами к большой оси от в до 0. Учитывая симметрию, можно сделать вывод о форме эллипса (рис. 29).

 

Рис. 29

Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, точка их пересечения 0 – центром эллипса. Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса (А1, А2, В1, В2). Отрезки А1А2 и В1В2, а также их длины 2а и 2в называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и в называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси называется эксцентриситетом эллипса. e < 1.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем меньше эксцентриситет, тем меньше его малая полуось в отличается от большой полуоси а, то есть тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси

Пример 14. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки  и  Написать его уравнение, найти эксцентриситет.

Решение. Координаты точек М и А должны удовлетворять уравнению (2.22):  Решив систему, получим  тогда уравнение эллипса   


Источник: https://abc.vvsu.ru/books/l_matemk1/page0021.asp


Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Эллипс. Формулы, признаки и свойства эллипсa Как нужно сделать что бы быстро забеременеть



Отношение расстояния между фокусами к большой оси Кривые второго порядка: окружность, эллипс
Отношение расстояния между фокусами к большой оси Эллипс и его свойства - Высшая математика
Отношение расстояния между фокусами к большой оси Кривые второго порядка. Эллипс
Отношение расстояния между фокусами к большой оси ЭЛЛИПС - Научная библиотека
Отношение расстояния между фокусами к большой оси Окружность и эллипс
Отношение расстояния между фокусами к большой оси 17 лучших фильмов, похожих на Три метра над уровнем неба (2010)
Отношение расстояния между фокусами к большой оси Азиатский колосок спицами: мастер класс, схемы вязания и видео уроки
Блюда из лаваша, рецепты лаваша в домашних условиях Выкройки русских народных сарафанов. Сарафан Горб на шейном отделе позвоночника форум Есть примета, если цветы подаренны с любовью - долго не вянут. А вы верите? Как связать горловину жилетки Sunny Lady Наращивание зубов : фото до и после Скол переднего зуба Одежда из Польши в России

Похожие новости